Как избежать переименования должности, если сотрудник не согласен с изменениями?

Когда речь идет о переименовании должности, имеется в виду,
что изменяется только ее название, трудовая функция остается прежней. Новая
должность должна быть предусмотрена штатным расписанием. Работодатель издает
приказ о внесении изменений в штатное
расписание. Основанием приказа может быть изменение
законодательства, совершенствование структуры организации, приведение
наименований должностей в соответствие с квалификационным справочником
должностей руководителей, специалистов и других служащих и т.д.

Работнику направляется уведомление об изменении названия.
Если он согласен, то делает соответствующую отметку в приказе, и подписывается
дополнительное соглашение. Если не согласен, работодатель должен действовать в порядке, установленном ст. 74 ТК РФ.

«Статья 74.
Изменение определенных сторонами условий трудового договора по причинам,
связанным с изменением организационных или технологических условий труда

В случае, когда по причинам, связанным с изменением организационных или технологических условий труда (изменения в технике и технологии производства, структурная реорганизация производства, другие причины), определенные сторонами условия трудового договора не могут быть сохранены, допускается их изменение по инициативе работодателя, за исключением изменения трудовой функции работника.
О предстоящих изменениях определенных сторонами условий трудового договора, а также о причинах, вызвавших необходимость таких изменений, работодатель обязан уведомить работника в письменной форме не позднее чем за два месяца, если иное не предусмотрено настоящим Кодексом.

Если работник не согласен работать в новых условиях, то работодатель обязан в письменной форме предложить ему другую имеющуюся у работодателя работу (как вакантную должность или работу, соответствующую квалификации работника, так и вакантную нижестоящую должность или нижеоплачиваемую работу), которую работник может выполнять с учетом его состояния здоровья. При этом работодатель обязан предлагать работнику все отвечающие указанным требованиям вакансии, имеющиеся у него в данной местности.
Предлагать вакансии в других местностях работодатель обязан, если это
предусмотрено коллективным договором, соглашениями, трудовым договором.
При отсутствии указанной работы или отказе работника от предложенной работы трудовой договор прекращается в соответствии с пунктом 7 части первой статьи 77 настоящего Кодекса. В случае, когда причины, указанные в части первой настоящей статьи, могут повлечь за собой массовое увольнение работников, работодатель в целях сохранения рабочих мест имеет право с учетом мнения выборного органа первичной профсоюзной организации и в порядке, установленном статьей 372 настоящего Кодекса для принятия локальных нормативных актов, вводить режим неполного рабочего дня (смены) и (или) неполной рабочей недели на срок до шести месяцев.

Если работник отказывается от продолжения работы в режиме неполного рабочего дня (смены) и (или) неполной рабочей недели, то трудовой договор расторгается в соответствии с пунктом 2 части первой статьи 81 настоящего Кодекса. При этом работнику предоставляются соответствующие гарантии и компенсации.
Отмена режима неполного рабочего дня (смены) и (или) неполной рабочей недели ранее срока, на который они были установлены, производится работодателем с учетом мнения выборного органа первичной профсоюзной организации.

Изменения определенных сторонами условий трудового договора, вводимые в соответствии с настоящей статьей, не должны ухудшать положение работника по сравнению с установленным коллективным договором, соглашениями».

Затем вносятся изменения в трудовую книжку, личную карточку и должностную инструкцию работника.

Следовательно, если Работодателем был соблюден порядок переименования должности, то повлиять на название этой должности Вы не сможете.
А вот продолжать работать под другим названием должности или нет, то это уже Вам решать.