Возможно ли получить отпускные выплаты и написать заявление о получении пособия?

Для получения отпускных, вам необходимо выйти на работу и уйти в отпуск, а далее после отпуска обратно уйти в отпуск по уходу за ребенком до 3 лет и попытаться найти себе другую работу, чтобы не остаться без работы.

Т.к. компенсация за неиспользованный отпуск предоставляется только при увольнении

Статья 127. Реализация права на отпуск при увольнении работника
[Трудовой кодекс РФ] [Глава 19] [Статья 127]
При увольнении работнику выплачивается денежная компенсация за все неиспользованные отпуска.
По письменному заявлению работника неиспользованные отпуска могут быть предоставлены ему с последующим увольнением (за исключением случаев увольнения за виновные действия). При этом днем увольнения считается последний день отпуска.

Но в любом случае имейте ввиду, что Вам обязаны предоставить тоже рабочее место, с которого вы ушли в декретный отпуск Если будет отказ, то вправе обратиться с жалобой в трудовую иснпекцию.

Статья 256. Отпуска по уходу за ребенком
[Трудовой кодекс РФ] [Глава 41] [Статья 256]
На период отпуска по уходу за ребенком за работником сохраняется место работы (должность).

Здравствуйте, Алена!

Вы имеете полное право запросить у работодателя отпуск. Причём, не 20 дней, а весь полностью.
Согласно ст.260 ТК перед отпуском по беременности и родам или непосредственно после него либо по окончании отпуска по уходу за ребенком женщине по ее желанию предоставляется ежегодный оплачиваемый отпуск независимо от стажа работы у данного работодателя.
Обратите внимание, что вы имеете право на отпуск полной продолжительности, даже если вы его ещё не заработали полностью. Разделение отпуска на части (например, если вы возьмёте только 20 дней) возможно исключительно по соглашению сторон (ст. 125 ТК). Работодатель не может настаивать на частичном использовании отпуска.
Вообще оформление отпуска по уходу за ребенком до 1,5 лет некорректно. Такого отпуска не существует. Трудовой кодекс гарантирует женщинам отпуск по уходу за ребенком до трёх лет (ст.256 ТК). Но если сам работодатель оформил вам отпуск по уходу до 1,5 лет, вам не придётся писать заявление о прерывании отпуска по уходу. Он у вас и так уже закончился.
Подавайте работодателю заявление о предоставлении ежегодного оплачиваемого отпуска полной продолжительности. В двух экземплярах. На вашем должна остаться отметка о принятии. Работодатель обязан удовлетворить ваше заявление.
После ежегодного оплачиваемого отпуска подавайте заявление о предоставлении отпуска по уходу за ребенком до трёх лет. Всего доброго!