Какова максимальная продолжительность отпуска без сохранения заработной платы?

Здравствуйте, Петр!

Какова максимальная продолжительность отпуска без сохранения заработной платы?

В силу положений ст.128 ТК РФ по семейным обстоятельствам и другим уважительным причинам работнику по его письменному заявлению может быть предоставлен отпуск безсохранения заработной платы, продолжительность которого определяется по соглашению между работником и работодателем.
Таким образом, предел законом не установлен.

что должен сделать работник, чтобы ему его предоставили?

Все как обычно — нужно написать заявление.

Согласно части первой ст. 128 ТК РФ работнику по семейным обстоятельствам и другим уважительным причинам может предоставляться отпуск без сохранения заработной платы. Такой отпуск предоставляется по письменному заявлению работника. Продолжительность отпуска без сохранения заработка определяется по соглашению между работником и работодателем. Часть вторая ст. 128 ТК РФ предусматривает случаи, когда работодатель обязан предоставить работнику отпуск без сохранения заработной платы по его письменному заявлению.
Предоставление неоплачиваемого отпуска в случаях, не указанных в части второй ст. 128 ТК РФ, является правом, а не обязанностью работодателя. Соответственно, продолжительность неоплачиваемого отпуска в этих случаях определяется исключительно соглашением сторон трудового договора и максимальным пределом не ограничивается.
Трудовой кодекс РФ не определяет формы такого соглашения. Оно может быть составлено в виде одного документа за подписью работника и работодателя. В этом случае дополнительно заявления от работника не требуется. Либо такое соглашение считается достигнутым, если работник напишет работодателю заявление о предоставлении отпуска, на котором работодатель выразит согласие соответствующей письменной резолюцией.