здравствуйте Татьяна!
Действительно статья 288 Трудового кодекса РФ, разрешает увольнение работника работающего по совместительству, в случае приема на работу работника, для которого эта работа будет являться основной, но работодатель в данном случае, в письменной форме обязан предупредить работника не менее чем за две недели до прекращения трудового договора.
В Вашей ситуации заявление на отпуск было написано раньше, чем устное предложение уволиться, поэтому работодатель уже должен был подписать заявление на отпуск.
Совместитель, как и любой другой сотрудник, вправе оформить отпуск по уходу за ребенком (ч. 1 и 2 ст. 256 ТК РФ). В заявлении он может указать любую продолжительность такого отпуска, например до полутора или до трех лет. Соответственно работодатель обязан предоставить совместителю этот отпуск.