Здравствуйте.
Если позволите, я отвечу немного о другом.
Не спешите менять требования, не дайте ответчику ввести вас в заблуждение. То, что ваш трудовой договор не был подписан не означает, что он не вступал в силу. Если вы исполняли трудовые обязанности, если получали зарплату, это само по себе означает, что и вы считали себя работником и работодатель считал себя работодателем.
Смотрите, в соответствии со ст. 67 ТК РФ: трудовой договор, не оформленный в письменной форме, считается заключенным, если работник приступил к работе с ведома или по поручению работодателя или его представителя. При фактическом допущении работника к работе работодатель обязан оформить с ним трудовой договор в письменной форме не позднее трех рабочих дней со дня фактического допущения работника к работе.
Т.е. со стороны работника достаточно начать фактически выполнять трудовую функцию, для того, чтобы трудовой договор считался вступившим в силу.
Для вас, в свою очередь, это означает:
— первоначально заявленные требования заявлены верно;
— не нужно менять требования, достаточно доказать то, что вы фактически приступили к работе (показания свидетелей, например);
Соответственно, все, якобы пропущенные сроки в действительности не пропущены.