Уважаемая Ольга!
Мать с 2 несовершеннолетними детьми можно выписать только по суду, и то только с согласия органов опеки и попечительства, при условии, что у них есть другое жилое помещение, в котором можно зарегистрироваться.
Что касается задолженности за квартиру, то по закону бремя содержания имущества, в том числе и оплата коммунальных услуг, несёт собственник. Так как Вы приобрели квартиру с задолженностью, то конечно, по закону долги должен оплачивать предыдущий собственник. Но, он может этого и не делать и тогда долги лягут на Вас, так как при покупке квартиры Вы не проявили должной осмотрительности, подписали договор, а значит согласны со всеми условиями при покупке квартиры. Обычно, в договорах купли продажи, прописывается пункт о том, кто и до какого момента несёт бремя содержания квартиры. Также покупатели перед подписанием договора купли-продажи квартиры просят продавца предъявить оплаченные за квартиру квитанции либо справки из ТСЖ (УК, ЖЭК) об отсутствии задолженности по коммунальным платежам. Вы можете оплатить за задолженность сами, а потом потребовать возврата уплаченной суммы, в том числе и через суд с бывшего собственника. НО! суды не всегда удовлетворяют требования покупателей о взыскании с продавцов сумм коммунальных услуг, т.к. считают, что покупатель, подписывая договор, должен тщательно проверять объект недвижимости.
Желаю успехов!