Здравствуйте!
Да можете. Между Вами фактически был заключен договор подряда.
Статья 162 ГК РФ Последствия несоблюдения простой письменной формы сделки
1. Несоблюдение простой письменной формы сделки лишает стороны права в случае спора ссылаться в подтверждение сделки и ее условий на свидетельские показания, но не лишает их права приводить письменные и другие доказательства.
Как минимум у Вас есть свидетельские показания всей бригады. Может быть остались какие-то чеки квитанции или их копии.
Я бы рекомендовал, для начала подать официальную претензию, в которой прописать все существенные условия Вашей договоренности с Заказчиком, что бы она также являлась в последующим доказательством в суде. Затем обратиться в суд с иском — взыскать деньги за работу, неустойку за невыплату, проценты за пользование чужими денежными средствами и моральный вред.
Дело Ваше далеко не безнадежное.
С уважением,
Ярослав Цветков.