Здравствуйте! Сыну умершего отца я бы рекомендовал подать нотариусу заявление о принятии наследства в шестимесячный срок, даже если сейчас квартира зарегистрирована только на мать. Сам факт регистрации в квартире наследственного права не дает, но сын является наследником первой очереди.
Пункт 1 статьи 1142 ГК РФполный текст нормы
Наследниками первой очереди по закону являются дети, супруг и родители наследодателя.
Главный вопрос здесь — на каком основании квартира оказалась собственностью матери. Если это действительно была приватизация исключительно на мать, то такая квартира, как правило, является ее личной собственностью и после смерти отца не наследуется. Но Вы указываете, что первоначально квартира была кооперативной. Для кооперативной квартиры принципиально важно установить, кто был членом кооператива, кем и когда полностью выплачен пай. Если членом кооператива был отец и пай был полностью выплачен им, право собственности могло возникнуть у него независимо от последующего оформления квартиры матерью.
Пункт 4 статьи 218 ГК РФполный текст нормы
Член жилищного, жилищно-строительного, дачного, гаражного или иного потребительского кооператива, другие лица, имеющие право на паенакопления, полностью внесшие свой паевой взнос за квартиру, дачу, гараж, иное помещение, предоставленное этим лицам кооперативом, приобретают право собственности на указанное имущество.
Кроме того, если квартира или право на нее фактически являлись общим имуществом супругов, регистрация только на мать сама по себе не всегда исключает долю отца: доля умершего супруга в совместном имуществе входит в наследство.
Статья 1150 ГК РФполный текст нормы
Доля умершего супруга в этом имуществе, определяемая в соответствии со статьей 256 настоящего Кодекса, входит в состав наследства и переходит к наследникам в соответствии с правилами, установленными настоящим Кодексом.
При этом наследуется только то имущество или имущественное право, которое принадлежало отцу на день смерти.
Статья 1112 ГК РФполный текст нормы
В состав наследства входят принадлежавшие наследодателю на день открытия наследства вещи, иное имущество, в том числе имущественные права и обязанности.
Поэтому отказываться от обращения к нотариусу только потому, что сейчас собственником указана мать, преждевременно. Заявление желательно подать в течение шести месяцев со дня смерти отца.
Пункт 1 статьи 1154 ГК РФполный текст нормы
Наследство может быть принято в течение шести месяцев со дня открытия наследства.
Для окончательного ответа нужно посмотреть выписку ЕГРН на квартиру и документы кооператива: кто являлся членом кооператива, справку о полной выплате пая и документы, на основании которых мать зарегистрировала квартиру на себя. По этим документам уже можно определить, была ли у отца доля, которую сын вправе наследовать, и есть ли основания оспаривать оформление всей квартиры на мать. Если документы есть, их имеет смысл оценить до истечения шестимесячного срока.