Да, дети матери могут получить эту квартиру, и основной путь лежит через наследство самой матери, если она успела стать наследником сожителя. Совместное проживание, даже признанное судом, супругом не делает: признается только брак в загсе (п. 2 ст. 1 СК РФ)
Для нее был путь нетрудоспособного иждивенца. Если ко дню смерти сожителя мать была нетрудоспособной (женщина с 55 лет или инвалидность), не меньше года жила с ним и была на его иждивении, она наследник по закону, а без других наследников наследует одна, восьмой очередью (п. 2, 3 ст. 1148 ГК РФ). Иждивение означает, что его помощь была для нее постоянным и основным источником средств, своя пенсия этому не мешает (пп. «в» п. 31 Постановления Пленума ВС РФ от 29.05.2012 N 9). 15 лет вместе дают сильный довод, а Верховный Суд поддержал сожительницу в таком же споре с городом за квартиру (Обзор судебной практики ВС РФ N 4 (2020), п. 5). Если кто-то из детей сам был тогда несовершеннолетним и жил на его содержании, он мог наследовать и напрямую по той же статье
Второе условие: мать должна была принять наследство в течение 6 месяцев после его смерти (п. 1 ст. 1154 ГК РФ), у нотариуса или фактически: если она жила в квартире и платила за нее, она считается принявшей, пока не доказано иное (п. 2 ст. 1153 ГК РФ). Тогда квартира считается ее со дня смерти сожителя, даже без регистрации (п. 4 ст. 1152 ГК РФ), и дети наследуют ее как первая очередь (п. 1 ст. 1142 ГК РФ), тоже в 6 месяцев, но уже со дня смерти матери, иначе срок придется восстанавливать через суд (п. 1 ст. 1155 ГК РФ). Если иждивения не было или мать в срок не приняла, квартира выморочная и переходит городу (п. 2 ст. 1151 ГК РФ): мать умерла после окончания срока, и право принять к детям не перешло (ст. 1156 ГК РФ). Все это при смерти сожителя после 01.03.2002, раньше действовали правила ГК РСФСР
Получат ли дети квартиру, решает формулировка решения суда: установлен в нем факт нахождения матери на иждивении сожителя или только совместное проживание. Во втором случае город будет требовать квартиру как выморочную, и спорить придется заново. Покажите решение в чате здесь, разберем, на что в нем можно опереться