Семён, здравствуйте. С учётом уточнения, что умерший — ваш отец, сам переход его 1/4 доли к муниципалитету не означает ни автоматического выселения родственницы, ни права администрации по своему усмотрению заселить в квартиру любого человека. Но гарантировать ей дальнейшее проживание только на основании оплаты коммунальных услуг нельзя.
1. Муниципалитет получит долю в праве на квартиру, а не автоматически отдельную комнату. Владение и пользование общей квартирой определяются соглашением всех сособственников, при споре — судом (статья 247 ГК РФ). Поэтому одну лишь принадлежность 1/4 нельзя рассматривать как достаточное основание для вселения нового жильца без учёта прав собственников остальных 3/4. При этом муниципалитет сможет защищать свои права сособственника, в том числе поставить вопрос о порядке пользования. Ваши уже имеющиеся доли отказ от наследства сам по себе не прекращает.
Сможет ли родственница продолжать жить, зависит от основания её вселения и существующего права пользования: кто и с чьего согласия её вселил, есть ли договор или иное сохраняющееся основание. Оплата счетов такого основания сама по себе не заменяет. Нужны документы и сведения о её вселении; простого ответа «точно останется» здесь нет.
2. Оплата коммунальных услуг может быть доказательством фактического принятия наследства, но оценивается не изолированно. Важно, кто платит, чьими деньгами, за какую часть расходов и действует ли плательщик по поручению наследника. Если родственница оплачивает собственное проживание своими деньгами, это не означает автоматически, что вы с братом приняли наследство через неё. Если действительно отсутствует её родство с отцом и иные основания наследования, одна оплата ЖКУ также не создаёт ей статус наследницы отца.
Пункты 36–37 Постановления Пленума ВС РФ от 29.05.2012 № 9 требуют учитывать характер действий и намерение принять наследство. Само наличие у наследника общей собственности с умершим ещё не подтверждает принятие наследства; действия могут совершаться и через других лиц по его поручению. Соответствующие разъяснения: www.vsrf.ru/documents/own/8296/. Поэтому неразделённый счёт сам по себе вопрос о принятии не решает; сохраняйте сведения о плательщике и назначении платежей.
3. Отказ именно вас двоих ещё не гарантирует выморочность: нотариусу нужно установить отсутствие иных наследников, которые могут наследовать. Это следует из статьи 1151 ГК РФ. Если принято решение отказаться, оформляйте его у нотариуса в установленный срок, обычно в пределах шести месяцев со дня открытия наследства. В этот срок отказаться можно и после принятия наследства; впоследствии отказ нельзя изменить или забрать обратно (статьи 1157, 1159 ГК РФ).
До отказа стоит проверить дату открытия наследства, круг наследников и основание проживания родственницы. Иначе необратимое решение о наследстве будет принято без понимания, на каком праве она сможет пользоваться квартирой.
Да, если реально проживает и производит оплату КУ, то эти действия расцениваются как фактическое принятие наследства.