Здравствуйте, Ксения!
В МФЦ вас, скорее всего, сориентировали неточно. Апелляционное определение вступает в законную силу со дня его принятия (ч. 5 ст. 329 ГПК РФ), поэтому отдельный штамп «вступило в законную силу» на самом апелляционном определении по закону не нужен: дата его вынесения и есть дата вступления в силу. В этот же день вступает в силу и решение суда первой инстанции, если апелляция оставила его без изменения.
Для ЗАГС обычно достаточно одного из двух вариантов:
1. Копия решения суда первой инстанции с отметкой о вступлении в законную силу (дата в отметке совпадет с датой апелляционного определения) вместе с копией апелляционного определения. Такую копию с отметкой выдает суд первой инстанции, куда дело вернулось из Мосгорсуда.
2. Если решение изменено или принято новое решение в апелляции, то копия апелляционного определения, заверенная судом.
Практический совет: подайте заявление непосредственно в орган ЗАГС, а не через МФЦ, и приложите оба судебных акта. Если ЗАГС все-таки откажет во внесении исправлений или изменений, попросите письменный отказ: его можно обжаловать в суд в порядке гл. 22 КАС РФ (срок три месяца со дня, когда вы узнали об отказе, ч. 1 ст. 219 КАС РФ).
Если напишете, какое именно изменение вносится (фамилия, отчество, отцовство или иное), подскажу, какой документ ЗАГС потребует дополнительно.
С уважением,
Лучников Константин,
юрист, партнер адвокатского бюро