Дарья, прописать Вас на даче без Вашего согласия нельзя: Вам с братом по 18 лет, и за регистрацией по месту жительства обращается сам гражданин (ст. 6 Закона N 5242-1). Но именно Ваше заявление о регистрации на даче и снимет Вас с учета в квартире: при смене места жительства снятие идет на основании заявления о регистрации по новому адресу (ст. 7 того же закона). Против Вашей воли выписать Вас из квартиры можно только по основаниям закона, например по решению суда. На даче прописка вообще возможна, только если там жилой дом: местом жительства закон считает жилой дом, квартиру или иное жилое помещение (ст. 2 Закона N 5242-1), а садовый дом сначала нужно признать жилым (ч. 3 ст. 23.1 Закона N 217-ФЗ)
Сама прописка в квартире от продажи не защищает: она прав не дает и их не отнимает (ст. 3 Закона N 5242-1). Собственники здесь бабушка и мама, продать квартиру и распорядиться деньгами они вправе как собственники (ст. 209 ГК РФ). После продажи право пользования у членов семьи прежнего собственника прекращается (п. 2 ст. 292 ГК РФ), и кто не освободил квартиру, того новый владелец выселяет по решению суда (ч. 1 ст. 35 ЖК РФ)
Исключение закон дает тем, кто на дату приватизации имел равное право пользования квартирой с приватизировавшими, но собственником не стал: такое право сохраняется и после продажи (ст. 19 Закона о введении в действие ЖК РФ). Несовершеннолетние, жившие в квартире вместе с приватизирующими, по закону включаются в договор передачи (ч. 2 ст. 7 Закона о приватизации). Если же квартиру приватизировали до Вашего рождения, это исключение к Вам не относится
Сохранится ли у Вас с братом право, которое продажа не снимает, видно только по договору приватизации: по его дате и тому, кто в нем указан. Выяснить это нужно до сделки и до заявления о прописке на даче, потом спорить придется уже с новым владельцем. Пришлите договор приватизации в чат здесь, разберем по нему