Игорь, для сотрудника органов внутренних дел применяется статья 84 Закона N 342-ФЗ, а не общий двухнедельный срок статьи 80 ТК РФ. По общему правилу рапорт подается в установленном порядке за один месяц до увольнения.
Рапорт можно направить почтовым отправлением с подтверждением содержания и вручения уполномоченному руководителю. Сохраните копию с резолюцией от 14 октября, опись вложения, чек и сведения о доставке. Но дата написания 13 октября на документе, который остался у вас, сама по себе не доказывает его подачу. Резолюция непосредственного руководителя может подтверждать обращение к нему, однако для расчета срока нужно установить, когда рапорт был принят и зарегистрирован по надлежащему служебному порядку.
Параллельно подайте через делопроизводство письменную просьбу зарегистрировать рапорт и сообщить входящий номер и дату передачи руководителю, уполномоченному увольнять. Если вы направляете тот же документ повторно, прямо обозначьте, что это дубликат ранее поданного рапорта, и приложите подтверждения первоначальной подачи, если они есть.
Не отсчитывайте месяц автоматически от 13 октября и не прекращайте службу только из-за отправки письма. Части 4 статьи 84 и 7 статьи 89 связывают прекращение исполнения обязанностей с истечением срока и сдачей оружия, имущества, документов, удостоверения и жетона. Отдельно действует ограничение увольнения по инициативе сотрудника при особых условиях службы по статье 35 и части 8 статьи 84.