Что делать, если не пускают в Казахстан без объяснения причин?

Пограничник на КПП формально не обязан подробно объяснять причину устно — его задача сверить данные с базой, а не вести долгую дискуссию. Но у вас есть чёткие права, и их нужно использовать. 
Что сделать в первую очередь
Требуйте письменное уведомление. Это ключевой шаг. По закону вам должны выдать документ, где чётко прописано основание отказа (например, «неоплаченный штраф», «превышение срока пребывания 90/180», «включение в список по национальной безопасности»). Один экземпляр остаётся у пограничников, второй вы забираете под подпись. Если вам устно ограничились общей фразой вроде «въезд запрещён» — это нарушение. 
Параллельно запросите информацию официально. Напишите письменный запрос в Пограничную службу КНБ РК (она входит в структуру Комитета национальной безопасности) или в МВД Казахстана. Попросите сообщить конкретное правовое основание отказа. 
Какие могут быть причины
Чтобы понимать, с чем имеете дело, вот частые варианты:
Превышение лимита 90/180 в предыдущий визит (система «Беркут» ведёт подсчёт автоматически). 
Неоплаченный штраф (даже если вы его оплатили, запись в базе может остаться). 
Предыдущий случай выдворения (по закону запрет действует до 5 лет с момента вступления решения в силу). 
Отсутствие принимающей стороны, обратного билета или подтверждения средств при длительном въезде. 
Подозрение в трудовой деятельности без разрешения. 
Проблемы с документами (повреждённый паспорт, срок действия менее 6 месяцев на дату выезда, несовпадение данных с прошлыми въездами). 
Включение в специальные учётные списки (по соображениям нацбезопасности, из-за подозрений в экстремистской деятельности). 
Техническая ошибка (совпадение данных с однофамильцем, некорректная запись о выезде). 
Что делать дальше
Когда у вас на руках письменное основание, оцените его:
Если причина реальная и обоснованная (например, действительно есть неоплаченный штраф) — устраните её (оплатите штраф, оформите регистрацию, подтвердите цель поездки). 
Если основание ошибочное (опечатка, техническая накладка) — можно обжаловать решение. 
Как обжаловать
Жалоба в вышестоящий орган (Пограничная служба КНБ РК). Подаётся письменно, срок рассмотрения — до 30 дней. Этот путь чаще работает при технических ошибках.
Иск в административный суд Казахстана по месту нахождения КПП. Здесь почти наверняка понадобится помощь местного адвоката. Срок для обращения — 1 месяц с момента получения уведомления.
Ходатайство о снятии запрета через МВД РК, если запрет был наложен по решению о выдворении. В ходатайстве укажите обстоятельства, смягчающие ситуацию (близкие родственники — граждане РК, обучение, лечение, гуманитарные причины). Практика показывает: если запрет наложен на длительный срок (например, 5 лет), часто проще дождаться его истечения, чем судиться.
 
Важные предостережения
Не пытайтесь въехать повторно «на удачу», если есть действующий запрет. Это не только бесполезно, но и может привести к задержанию и принудительной депортации.
Не пытайтесь обмануть систему, сменив паспорт. Базы КНБ синхронизированы по биометрическим данным и ФИО — обман невозможен.
Не ведитесь на предложения «удалить из базы» за деньги — это мошенничество.