Здравствуйте. По описанным обстоятельствам Вы не становитесь должником по штрафу родственника только потому, что оплатили поездку своей картой и карта осталась привязана к его аккаунту.
Если договор каршеринга заключен с родственником, обязательства по нему по общему правилу несет он. Пункт 3 статьи 308 ГК РФ не позволяет автоматически возлагать обязанности на лицо, которое не является стороной договора; этот принцип разъяснен в пункте 2 постановления Пленума ВС РФ от 22.11.2016 № 54. Оплата за другого человека допускается статьей 313 ГК РФ и сама по себе не означает, что Вы приняли на себя все его долги. Иной вывод возможен, если Вы отдельно приняли собственные обязательства перед сервисом — такие условия нужно проверить.
Отдельный вопрос — согласие на списания с карты. Разрешение использовать карту для оплаты и личная обязанность отвечать по договору родственника — разные вещи. Проверьте, какие условия подтверждались при привязке карты, и направьте сервису письменное заявление об удалении Вашей карты и прекращении ее использования. Уточните в банке, как прекратить последующие платежи этому сервису, а при уже состоявшемся спорном списании — порядок его оспаривания. Блокировка карты не погашает долг родственника и не прекращает обязательства, если Вы действительно принимали их на себя.
Досудебный спор родственника с каршерингом сам по себе не делает Вас «невыездной». Ограничение выезда по статье 67 Федерального закона от 02.10.2007 № 229-ФЗ применяется к должнику в исполнительном производстве при соблюдении предусмотренных законом условий. Чужой долг нельзя автоматически перенести на владельца карты. Перед отпуском можно проверить сведения об исполнительных производствах и ограничениях в отношении Вас через Госуслуги.
Уточните название каршеринга и подтверждали ли Вы лично какие-либо условия, кроме оплаты поездки. Договор и правила привязки карты можно привести без номера карты, паспортных и иных личных данных — по ним станет понятно, есть ли у сервиса отдельные основания предъявлять требования именно к Вам.