Здравствуйте! Да, жалобу подать можете.
Если по режиму работы детский сад уже был открыт, отказ принять ребёнка в 8:40 должен иметь законное основание. Режим работы сада устанавливается локальным актом, а образовательная организация обязана обеспечивать безопасные условия для детей и охрану их здоровья.
Рекомендую направить письменную жалобу учредителю сада или в управление образования, подробно указав дату, время, обстоятельства, сильный дождь и действия заведующей. Если после этого ребёнок заболел, сохраните медицинские документы. Вопрос о возмещении расходов возможен, но потребуется доказать связь заболевания именно с произошедшим.
В Чебоксарах жалобу лучше подать в Управление образования администрации города Чебоксары: Московский проспект, д. 8
Также можно направить обращение через администрацию города. Если реакции не будет – в Министерство образования Чувашской Республики или прокуратуру.
Могу помочь составить юридически обоснованную жалобу на заведующую.