Здравствуйте, Максим!
Если отец действительно является единственным собственником квартиры и оставил завещание на ваше имя, то после его смерти квартира по общему правилу перейдет вам.
То, что второй сын не прописан в квартире и не проживает в ней, само по себе не лишает его права наследовать, но и права на квартиру только из-за родства или наличия регистрации у него не возникает.
Основное исключение составляет обязательная доля в наследстве. Например, если на момент смерти отца второй сын будет несовершеннолетним либо нетрудоспособным и будет относиться к лицам, имеющим право на обязательную долю по закону. В таком случае он сможет получить часть наследства независимо от содержания завещания (ст. 1149 ГК РФ).
Если второй сын совершеннолетний, трудоспособный и не имеет оснований для обязательной доли, то при наличии действительного завещания квартира достанется вам.
Поэтому для точного ответа имеет значение прежде всего возраст и состояние второго сына на момент смерти отца, а не его прописка в квартире.
Заранее благодарю Вас за оценку моего ответа.
Тогда, если он трудоспособен и не имеет инвалидности, сам по себе возраст 62 года не дает ему права на обязательную долю в наследстве.
Поэтому при наличии действительного завещания на ваше имя квартира после смерти отца должна перейти вам. То, что второй сын является сыном вашего отца, а также то, что он не прописан и не проживает в квартире, ситуацию не меняет.
Если на момент открытия наследства он останется трудоспособным и других оснований для обязательной доли не появится, претендовать на долю квартиры он не сможет.