Елена, здравствуйте.
Писать заявление без сохранения зарплаты вы не обязаны. Такой отпуск оформляется только по просьбе самого работника, и требование заведующей здесь силы не имеет.
Суть спора в том, что совмещение и совместительство путать нельзя: от этого зависят и дни отпуска, и деньги.
Совмещение (ст. 60.2 ТК) означает дополнительную работу внутри вашего же рабочего дня по одному трудовому договору. Отдельного отпуска у него нет: договор один, отпуск один, а доплата за совмещение (ст. 151 ТК) входит в расчёт среднего заработка и увеличивает отпускные. При таком оформлении три заявления не нужны, а превышение отпускных просто не возникает.
Внутреннее совместительство (ст. 60.1, 282 ТК) устроено иначе: с вами заключается второй, отдельный трудовой договор, и работа по нему идёт за пределами основного рабочего времени. Отпуск по совместительству предоставляется одновременно с основным (ст. 286 ТК). И только если по второй работе отпуск короче, работодатель по просьбе работника добавляет недостающие дни без сохранения зарплаты. Просьба исходит от вас, а не указание от неё.
То, что вы описываете (та же должность, тот же сад, работа внутри одной смены), на совместительство не похоже. Но решают не слова, а бумаги.
Что сделать:
1. Запросите письменно копии трудового договора, всех дополнительных соглашений с 2024 года, приказов о приёме и о доплате, приказов на отпуск за прошлые годы. Выдать их обязаны в течение трёх рабочих дней (ст. 62 ТК).
2. Проверьте, есть ли второй трудовой договор. Если его нет, совместительства нет, а есть совмещение, и основание для дней без сохранения зарплаты исчезает.
3. Заявление за свой счёт не подавайте. Подайте заявление на ежегодный отпуск с 01.06 и попросите письменно указать основание, по которому часть дней предлагается неоплачиваемыми.
4. Про долг за отпускные: удержания из зарплаты допускаются только в случаях, прямо названных в ст. 137 ТК, а расчёт за неотработанные дни отпуска возможен при увольнении, а не в текущей работе.
5. Если давление продолжится, трудовая инспекция по такому комплекту документов проверяет быстро.
Посмотрите договор: на 0,5 ставки заключён отдельный трудовой договор или доплата оформлена дополнительным соглашением к основному? От этого зависит, есть ли у заведующей предмет для разговора про дни без сохранения зарплаты.