Выдать доверенность Вы вправе — как законный представитель детей.
Родители являются законными представителями своих детей и выступают в защиту их прав и интересов в отношениях с любыми физическими и юридическими лицами, в том числе в судах, без специальных полномочий (пункт 1 статьи 64 Семейного кодекса Российской Федерации (СК РФ)).
Из этого следует и обратное: полномочия, которые есть у Вас, Вы можете передать другому человеку доверенностью. Бабушка сможет подавать документы, получать ответы и справки от Вашего имени и в интересах детей.
Практическая оговорка, о которую спотыкаются чаще всего: подача заявления и получение денег — разные полномочия. Если выплата должна поступать на Ваш счёт, это стоит прямо написать в доверенности вместе с реквизитами, иначе появится путаница уже на приёме документов.
И заранее уточните в том органе, куда пойдут документы, какую доверенность он принимает — простую письменную или нотариальную. Это дешевле выяснить одним звонком, чем переделывать после отказа.
Если ответ оказался полезен, отметьте его — это помогает другим читателям найти нужное.