Здравствуйте. Да, подать заявление о признании сына без вести пропавшим Вы можете в суд по Вашему новому месту жительства. Это прямо предусмотрено законом.
В соответствии со статьей 276 Гражданского процессуального кодекса РФ, такое заявление подается в суд по месту жительства или месту нахождения заинтересованного лица (то есть Вас). Поскольку Вы переехали в другой регион и теперь проживаете там, Вы имеете полное право обратиться в районный суд по Вашему новому адресу.
При подаче заявления обязательно приложите имеющуюся у Вас справку о безвестном отсутствии сына. Также Вам понадобятся документы, подтверждающие родство (свидетельство о рождении), и квитанция об уплате госпошлины.