Здравствуйте, Оксана.
Да, уголовное дело вполне могут возбудить.
Если гражданин Кыргызстана совершил мошенничество (например, обманул кого-то в России, а сейчас вернулся на родину), правоохранительные органы Кыргызстана вправе начать расследование. То, что человек находится в республике, как раз упрощает задачу: полиция и прокуратура Киргизии действуют в пределах своей юрисдикции и могут самостоятельно собирать доказательства, допрашивать свидетелей, проводить экспертизы.
Ключевой момент здесь — международное сотрудничество. Между Россией и Кыргызстаном действует Договор о правовой помощи и правовых отношениях по уголовным делам (от 14 сентября 1992 года). Согласно ему, компетентные органы одной страны могут официально попросить коллег в другой возбудить уголовное преследование в отношении своего гражданина, если есть основания полагать, что он совершил преступление на территории запрашивающего государства. При этом заявление потерпевшего, поданное в России и оформленное по закону, имеет юридическую силу и в Кыргызстане.
На практике это выглядит так: вы подаёте заявление в российскую полицию. Если в действиях человека усматривается состав преступления, российские органы направляют официальный запрос своим коллегам в Кыргызстане. Те, получив материалы и убедившись в наличии оснований, возбуждают дело у себя. В дальнейшем стороны могут обмениваться информацией, проводить совместные следственные действия.
Если помог Вам, буду признателен за положительную оценку (зелёный плюс под ответом).
Всего доброго.