Здравствуйте.
Отдавать копию свидетельства в полицию родственник не обязан - это обязанность самой медицинской организации, а не близких умершего. По ст. 66 ФЗ № 143-ФЗ заявить о смерти в ЗАГС должна именно больница или учреждение, где скончался человек, - не позднее 3 дней. Полиция уведомляется больницей самостоятельно, но не во всех случаях подряд, а если личность не установлена, есть признаки насильственной смерти, либо - это важно в Вашем случае - умерший состоял на диспансерном наблюдении по психическому расстройству. Для такой категории с недавнего времени введён отдельный порядок: медорганизация обязана сама сообщить в территориальный орган МВД о смерти такого пациента в течение 3 рабочих дней. То есть родственнику бегать с копией в отдел полиции не нужно - за это отвечает больница.
С ПНИ ситуация другая. Прямой законодательной обязанности отдавать туда копию свидетельства нет, но интернат выступал опекуном/законным представителем подопечного, и ему нужно официальное подтверждение смерти - для закрытия личного дела, снятия с учёта, прекращения выплат, возврата вещей и имущества подопечного. На практике интернат сам запросит документ, если родственник не предоставит его - могут возникнуть трения по поводу личных вещей умершего или расчётов.
Отдельный момент, который тут напрашивается: если человек попал в больницу с инсультом из ПНИ и умер, есть смысл проверить, не было ли упущено время на его госпитализацию персоналом интерната и не было ли дефектов в лечении в самой больнице - это отдельная история про возможную ответственность и компенсацию, если есть основания так думать.
Получите конкретный план действий по ситуации: что сделать дальше, какие документы подготовить и на какие сроки ориентироваться.