Обратиться можно в любое подразделение - это допускается экстерриториальным принципом, закреплённым в п. 15, 16 Постановления Правительства РФ № 713 (http://ips.pravo.gov.ru/search/1ce2b9ea19aa018b70a0c2146336b065a5b9bcfc7000b83f1f60aa68407fb848). Но есть нюанс: постоянная регистрация ребёнка до 14 лет возможна только по адресу регистрации одного из родителей - то есть если Вы прописаны в Филимонковском районе, ребёнка зарегистрируют туда же, независимо от того, куда физически подали документы.
То есть обратиться в отдел Гагаринского района формально можно (МФЦ работают по экстерриториальному принципу), но по факту адресом регистрации будет Филимонковский, поскольку именно там прописан родитель. Если цель - зарегистрировать ребёнка именно по адресу Гагаринского района, это возможно только если там прописаны Вы сами или второй родитель/опекун.
Получите конкретный план действий по ситуации: что сделать дальше, какие документы подготовить и на какие сроки ориентироваться.
