Можно ли устроиться на работу младшей медицинской сестрой в 60 лет?

Отвечу по существу — это довольно чёткая ситуация с точки зрения трудового законодательства.

Возраст не может быть законным основанием для отказа

Согласно ст. 3 и ст. 64 ТК РФ, отказ в приёме на работу по мотивам, не связанным с деловыми качествами работника, запрещён. Возраст сам по себе не является деловым качеством — это прямая дискриминация. Работодатель обязан по письменному требованию сообщить причину отказа в приёме (ст. 64 ТК РФ), и отказ можно обжаловать в суде.

Но на практике есть нюансы

Формально работодатель никогда не напишет «отказано из-за возраста» — напишут «не подошли по опыту/квалификации» или просто не дадут письменный отказ.
Для должности младшей медицинской сестры (санитарки) по уходу существуют реальные требования: медицинская книжка с действующими анализами и флюорографией, иногда — прохождение медосмотра на профпригодность (в т.ч. по физической нагрузке — переворачивать, перемещать пациентов). Если по состоянию здоровья есть ограничения, это уже законное основание для отказа, а не возраст как таковой.
Само по себе достижение 60 лет и даже пенсионного возраста — не препятствие: закон не устанавливает верхнего возрастного порога для этой должности.
Что можно сделать практически

При устном отказе — попросить письменный отказ с указанием причины (это часто само по себе снимает вопрос, т.к. работодатели не хотят фиксировать дискриминационную формулировку).
Обращаться напрямую в медицинские учреждения (хосписы, дома престарелых, частные сиделки через агентства) — там часто именно возраст и жизненный опыт ценятся, а не отпугивают.
При системном отказе с фиксацией причины — можно подать жалобу в Государственную инспекцию труда или обратиться в суд с иском о понуждении к заключению трудового договора и компенсации морального вреда.