Ставить печать в миграционной карте специально за получение патента не нужно - с этого года законность пребывания подтверждается самим бланком патента и квитанциями об уплате НДФЛ, а не отметками в карте. Печать на обороте карты ставится только при первичной постановке на миграционный учёт (та самая "регистрация"), и если у Вас уже есть временная регистрация - значит эта отметка уже стоит, дублировать её не требуется.
По Вашему описанию всё выглядит правильно оформленным: дактилоскопия (зелёная карта), медкомиссия, ИНН, электронная карта иностранного гражданина (та самая "красная" - она же выполняет функцию карты "Тройка"), регистрация на Госуслугах. Патент - это отдельный документ, он выдаётся по итогам всей этой процедуры, и красная карта сама по себе патентом не является, это разные вещи.
Но есть момент, который многие упускают и на котором потом теряют патент - после получения патента у Вас есть срок для подачи уведомления в МВД о трудовой деятельности с копией трудового договора. Без этого патент аннулируют автоматически, даже если он оплачен и на руках.
Получите конкретный план действий по ситуации: что сделать дальше, какие документы подготовить и на какие сроки ориентироваться.