В какой момент можно подать ходатайство в суде по делу об административном надзоре?

Ходатайство подать можно на любой стадии дела - от подачи иска до вынесения решения, это прямо следует из ст. 154 КАС РФ. Но по административному надзору есть свои особенности, и момент подачи здесь имеет значение не только процессуальное, но и содержательное.

Если Вы поднадзорное лицо и хотите подать ходатайство о частичной отмене ограничений (например, отменить запрет на выезд или сократить число явок в ОВД) - это делается уже в рамках рассмотрения иска об установлении/продлении надзора, либо отдельным иском в порядке ст. 271 КАС РФ. Если же речь о ходатайстве в самом заседании (приобщить документы, вызвать свидетеля, попросить перерыв) - его логичнее заявлять на стадии подготовки дела или в начале заседания, суды сейчас относятся строже к "запоздалым" ходатайствам, поданным ближе к прениям, и могут отказать, если не было уважительной причины задержки.

Важный нюанс: если Вы просите об изменении объёма ограничений, а не о самом ходатайстве по процедуре - суд не связан позицией МВД или исправительного учреждения и может как удовлетворить просьбу частично, так и наоборот - ужесточить надзор в пределах закона. Поэтому момент подачи и то, как сформулировано ходатайство, реально влияют на исход.