Можно ли выехать из ДНР через неделю после получения отпуска?

Выехать сможете - но строго в пределах срока, указанного в отпускном билете, и с обязательным возвращением к месту службы в установленную дату. Если Вы военнослужащий, отпускной билет - это документ, который подтверждает законность Вашего отсутствия в части, и в нём прописан не только срок, но иногда и маршрут (место проведения отпуска). Само по себе пересечение административной границы ДНР с Ростовской областью - это не "выезд из РФ" и не требует загранпаспорта, достаточно паспорта РФ, детям до 14 - свидетельства о рождении с отметкой о гражданстве.

Но здесь есть нюанс, который часто упускают: если Вы военнослужащий, то отпускной билет - это единственное, что защищает Вас от квалификации отсутствия как самовольного оставления части (ст. 337 УК РФ) или дисциплинарного проступка, если срок будет пропущен хотя бы на день. Также важно следовать именно через официальные пункты пропуска (Мариновка, Успенка, Весело-Вознесенка и др.) - в местных и локальных переходах могут быть ограничения по категориям граждан.

Если у Вас есть ограничения по выезду за пределы РФ (допуск к гостайне, действующий контракт), это отдельная история - там нужна отдельная процедура уведомления. Уточните, куда именно планируете выезжать - в другой регион РФ или за границу - и Ваш статус (военнослужащий, гражданское лицо), от этого зависит алгоритм действий.