Обращаться нужно в Нижегородскую область - региональные выплаты за ранение устанавливаются нормативным актом того субъекта РФ, где заключён контракт, и привязаны именно к этому критерию, а не к месту постоянной регистрации военнослужащего. Прописка в Москве в данном случае роли не играет.
Правовая логика простая: региональные выплаты - это не федеральная мера, а дополнительная поддержка за счёт бюджета конкретного субъекта (Постановление Правительства РФ от 06.05.2022 № 824, п. 14 - право субъектов вводить свои единовременные выплаты). Каждый регион сам определяет своим нормативным актом, кому он платит - и, как правило, это лица, заключившие контракт от военкомата данного региона либо призванные/направленные на СВО именно этим субъектом. Московская соцзащита такую выплату не назначит просто потому, что человек там зарегистрирован - у Москвы своя региональная программа со своими условиями, и она не заменяет нижегородскую.
При этом важно: получение региональной выплаты не лишает права на федеральные выплаты (страховая по 306-ФЗ, единовременное пособие при увольнении по военной травме) - они идут отдельно и параллельно, суммируются, а не взаимозачитываются между собой (кроме отдельных крупных президентских выплат, где есть зачёт ранее полученных сумм).
Сумма и точный порядок в Нижегородской области зависят от конкретного регионального постановления - там же и указаны условия, кто признаётся получателем.
Получите конкретный план действий по ситуации: что сделать дальше, какие документы подготовить и на какие сроки ориентироваться.