Здравствуйте. По закону (ст. 8 ФЗ №53-ФЗ) гражданин обязан состоять на учёте по месту жительства либо по месту временного пребывания, но только если это пребывание подтверждено документом - регистрацией сроком более 3 месяцев. "Место, которое просто укажет заявитель" - это неверная трактовка нормы: п. 50 Положения о воинском учёте прямо требует документального подтверждения адреса пребывания при явке в военкомат.
То, что закон о свободе передвижения (ст. 3 Закона № 5242-I) говорит "регистрация не может ограничивать права" - это про гражданские права в целом, а не про порядок ведения воинского учёта, для которого регистрация (постоянная или временная) - это именно тот документ, на основании которого военкомат физически заводит личное дело и определяет "свой" округ.
На практике это означает: пока временная регистрация действует (до 31.07.2026) - шанс встать на учёт по этому адресу есть, военкомат обязан принять документы. Как только регистрация истечёт без продления - формальных оснований у военкомата ставить на учёт по этому адресу не будет, и он вправе (и скорее всего будет) отказывать, отправляя за учётом по месту постоянной прописки. При этом за пропуск сроков постановки грозит штраф по ст. 21.5 КоАП РФ.
Есть варианты действовать без поездки в город прописки, но их надо делать грамотно и заранее - иначе рискуете получить отказ и потерять время до истечения регистрации.