Сколько раз можно заключать срочный трудовой договор?

Жёсткого числового лимита на перезаключение срочных договоров закон не устанавливает - но многократность на одну и ту же должность сама по себе повод для суда признать отношения бессрочными, если работа фактически носит постоянный характер.

Срочный договор законен только когда есть конкретная причина из ст. 59 ТК РФ - замена отсутствующего сотрудника, сезонные работы, конкретный проект и т.п. Если работодатель раз за разом перезаключает с Вами договор на ту же должность и те же обязанности, просто меняя даты - это признак того, что срочность искусственная, а значит, по ст. 58 ТК РФ договор может быть признан заключённым на неопределённый срок.

Но здесь есть нюанс: если между окончанием одного договора и заключением следующего был перерыв, и работа реально была временной (например, разные проекты) - шансы признать это нарушением ниже. А вот если срок истёк, а Вы продолжаете работать без нового приказа - договор автоматически считается бессрочным, это прямая позиция Пленума ВС РФ № 52.

Отдельная история для отдельных категорий (спортсмены, госслужба, педагоги вузов) - там свои специальные правила, где перезаключение допускается чаще.