Ответ команды Правовед
Поставить отметку в Москве не получится - это делает военкомат по месту Вашего жительства (постоянной регистрации) или отдел МВД при замене паспорта, а не любой военкомат "по месту нахождения" гражданина. Так установлено Постановлением Правительства РФ № 719: отметки об отношении к воинской обязанности ставят военкоматы по месту учёта или МВД - но только в момент выдачи/замены паспорта.
Тут ещё важный момент по сути дела. Вам 1967 г.р., в 2021 году Вам было 54 года - похоже, Вас сняли с воинского учёта по достижении предельного возраста пребывания в запасе (для солдат, сержантов запаса второго разряда это, как правило, 55 лет по ст. 53 ФЗ № 53-ФЗ). Именно поэтому в военкомате сказали, что военный билет "не нужен" - Вы уже не военнообязанный, документ Вам просто выдали справку об этом. Если это так, то восстанавливать военный билет и ставить в паспорт новую отметку "снят с учёта" тоже должен именно тот военкомат, где Вас снимали с учёта - у него есть Ваше личное дело.
В Москве без постоянной или временной (более 3 месяцев) регистрации военкомат Вас просто не примет как "не своего" - это прямо связано с обязанностью состоять на учёте по месту жительства/пребывания.