Если такая возможность есть, какую цель посещения лучше указывать?

Добрый день! Разберем ваши вопросы по порядку.

1. Про ФИО следователя. Адвокат не обязан называть вам эти данные, и в этом нет нарушения. Здесь работает не столько «адвокатская тайна» (она защищает сведения, полученные в ходе защиты), сколько принцип неразглашения данных предварительного расследования (ст. 161 УПК РФ). Следователь может предупредить участников процесса (в том числе защитника) о недопустимости разглашения таких сведений, и тогда адвокат связан этим предупреждением.

2. Можете ли вы сами связаться со следователем? Да, вы вправе это сделать. Разрешение на свидание даёт только он (или суд, если дело уже в суде). Следователь не обязан давать такое разрешение автоматически — он оценивает, не помешает ли свидание ходу расследования. 

3. Какую цель указать? В вашей ситуации оптимально сформулировать так: «Прошу предоставить свидание с подзащитным [ФИО отца] для обсуждения вопросов, связанных с защитой, в том числе возможности замены защитника». Такая формулировка показывает, что цель практическая и связана с правом на защиту, а не с попыткой повлиять на ход дела. Избегайте общих фраз вроде «по личным вопросам» — это может вызвать лишние вопросы. 

Несколько практических советов
Зафиксируйте обращение. Если пишете заявление следователю — сделайте копию с отметкой о приёме. Это пригодится, если придётся обжаловать отказ. 
Если последует отказ — его можно обжаловать прокурору или в суд (в порядке ст. 125 УПК РФ). 
Параллельно обсудите ситуацию с адвокатом. Возможно, он сам подаст ходатайство следователю от своего имени.

Добрый вечер.

Можно сделать так: Вы заключаете с адвокатом соглашение на 1 посещение вашего отца в СИЗО, он выписывает ордер, посещает его в СИЗО без всякого разрешения следователя, поскольку для посещения  защитником разрешение не нужно и обсуждает с вашим отцом все необходимые вопросы. А дальше, по результатам переговоров вы принимаете решение о смене защитника, если это необходимо и ваш отец согласен.