Я внучка, бабушка оставила наследство по завещанию, но в свидетельстве о праве на наследство по завещанию

Юлия, добрый день. 

По закону платить за квартиру обязана в первую очередь вы как собственник, но человек, которому по завещательному отказу дали право пожизненного проживания (сын бабушки), несёт солидарную с Вами ответственность за коммунальные платежи, и вы можете требовать с него компенсацию.

Кто формально должен платить
Обязанность по оплате жилого помещения и коммунальных услуг по общему правилу возлагается на собственника с момента возникновения права собственности.
При завещательном отказе (ст. 1137 ГК РФ) наследник обязан предоставить отказополучателю право пользоваться квартирой; отказополучатель пользуется жильём наравне с собственником.
Жилищное законодательство и практика разъясняют, что дееспособный отказополучатель (тот самый сын бабушки, который живёт в квартире) несёт солидарную ответственность по оплате коммунальных услуг вместе с собственником, если иное не предусмотрено вашим соглашением.
Почему квитанции приходят на вас и что с долгами
Управляющая организация и ресурсники ориентируются на собственника (данные Росреестра), поэтому квитанции по ЖКУ и долги «висят» на вас, как на владельце.
Коммунальные долги по квартире не «перебрасываются» односторонним решением на другого человека: для поставщика услуг должником остаётся собственник (или все совладельцы).
Но между вами и отказополучателем возникают гражданско‑правовые отношения: вы вправе требовать с него возмещения расходов по оплате коммунальных платежей, в том числе через суд, поскольку он фактически пользуется жильём и по закону отвечает солидарно.
Что вы можете сделать на практике
Продолжать оплачивать коммунальные услуги, чтобы не допускать роста задолженности и санкций на ваше имя, а затем предъявить отказополучателю требование о возмещении (претензия, а при отказе — иск о взыскании расходов).
Заключить с ним письменное соглашение (например, договор безвозмездного пользования или соглашение о распределении расходов), где прямо прописать, что он берет на себя оплату всех коммунальных услуг и содержанием квартиры; это облегчит вам последующее взыскание.
В суде по долгу ЖКХ (если управляющая компания подаст иск) заявлять ходатайство о привлечении отказополучателя как соответчика и ссылаться на его солидарную ответственность по ст. 33 ЖК РФ и ст. 1137 ГК РФ.

Здравствуйте! Управляющая организация вправе выставлять квитанции вам как собственнику, поскольку обязанность платить за жилое помещение и коммунальные услуги возникает у собственника по ст. 153 ЖК РФ. При этом сын бабушки, которому по завещательному отказу предоставлено пожизненное право пользования, если он дееспособен и проживает в квартире, несет с вами солидарную ответственность по обязательствам, связанным с пользованием жильем, по ст. 33 ЖК РФ.  Полностью перевести все начисления на него без его согласия обычно нельзя, но вы можете заключить с ним соглашение об оплате, просить УК разделить порядок начислений, а при оплате вами коммунальных долгов взыскать с него соответствующую часть через суд. Долги, возникшие до смерти бабушки, относятся к долгам наследодателя и погашаются наследником в пределах стоимости принятого наследства по ст. 1175 ГК РФ.