Добрый день! Елена
Собака уже считается вашей собственностью, отдельно оформлять на неё право собственности не нужно. По закону животное приравнивается к имуществу, поэтому ответственность за её поведение несёт владелец.
Это регулируется ст. 137 ГК РФ: «К животным применяются общие правила об имущестк», а также ст. 1064 ГК РФ: «Вред, причиненный личности или имуществу гражданина, подлежит возмещению лицом, причинившим вред».вашей ситуации это значит, что при укусе ответственность обычно может лечь на владельца, но важно, как именно всё произошло была ли провокация, испуг, резкое движение человека, где это случилось.
Рекомендую зафиксировать, как всё произошло (по возможности свидетели, переписка, объяснения), узнать, обращался ли человек к врачу, и сохранить все документы на собаку (ветпаспорт, прививки). Дальше уже смотреть по ситуации, есть ли основания для вашей ответственности или можно доказать, что это был несчастный случай.