Могу ли я ее прописать по месту своей прописки, а она при этом будет в Бахрейне?

Согласно Федеральному закону от 28 апреля 2023 г. №138-ФЗ «О гражданстве Российской Федерации», упрощённый порядок получения гражданства РФ для супруги гражданина РФ возможен при соблюдении следующих условий:

1. Брак должен быть официально зарегистрирован и признан действительным на территории РФ.
2. Необходимо наличие общего ребёнка (рождённого или усыновлённого в рамках брака). В вашем случае, если дети уже получили российское гражданство, это условие выполняется. 
3. Супруга должна проживать на территории РФ на основании вида на жительство (ВНЖ) или разрешения на временное проживание (РВП). Поскольку вы находитесь в Бахрейне, это условие не выполняется, что может затруднить получение гражданства в упрощённом порядке. 

Если условия для упрощённого порядка не соблюдены, применяется общий порядок, который требует:

— проживания в РФ на основании ВНЖ не менее 5 лет;
— знания русского языка, истории и основ законодательства РФ (для лиц старше 70 лет и инвалидов 1 группы это требование не применяется). 
В вашем случае, учитывая проживание в Бахрейне, получение гражданства РФ женой может быть затруднено. Возможно, стоит рассмотреть другие варианты, например, получение временного разрешения на проживание в РФ с последующим соблюдением требований для гражданства.

Для уточнения возможности получения гражданства в вашей ситуации рекомендуется обратиться в консульское учреждение РФ в Бахрейне или в территориальный орган МВД РФ в России.

Прописка жены по месту вашей прописки

Прописать жену по месту вашей прописки, если она находится в Бахрейне, нельзя. Регистрация по месту жительства (прописка) в РФ предполагает фактическое проживание по указанному адресу. Кроме того, для регистрации иностранца по месту жительства требуется наличие у него вида на жительство (ВНЖ), разрешения на временное проживание (РВП) или разрешения на временное проживание в целях образования (РВПО). 

Если жена не проживает в РФ и не имеет оснований для регистрации по месту жительства, такая регистрация будет незаконной. Это может повлечь административную или уголовную ответственность за фиктивную регистрацию. 

Здравствуйте,

Находясь за границей, гражданка Украины НЕ может получить ни ВНЖ, ни гражданство РФ. Она должна подавать заявления на территории РФ.

Сейчас пока действует ещё Указ Президента РФ от 4 января 2024 г. N 11 “Об определении отдельных категорий иностранных граждан и лиц без гражданства, имеющих право обратиться с заявлением о приеме в гражданство Российской Федерации”, согласно которому, граждане Украины, легально находящиеся на территории РФ ( даже хотя бы просто имея миграционную карту, полученную при въезде) и имеющие постоянное место жительства в Украине ( регистрацию по месту жительства) могут непосредственно сразу подать заявление на гражданство РФ.

https://www.garant.ru/products/ipo/prime/doc/408227543/?ysclid=mpzaesqk8k590829322

Если регистрации по месту жительства в Украине нет, тогда не путь получения гражданства РФ только через получение ВНЖ РФ

Основания для получения ВНЖ у нее могут быть следующие ( ст 8 ФЗ «О правовом положении иностранных граждан в Российской Федерации» от 25.07.2002 N 115-ФЗ)

4) иностранному гражданину, имеющему родителя (усыновителя, опекуна, попечителя), или ребенка, рожденного (усыновленного) в браке с гражданином Российской Федерации, постоянно проживающим в Российской Федерации, или совершеннолетнего ребенка, состоящих в гражданстве Российской Федерации и постоянно проживающих в Российской Федерации;

18) иностранному гражданину, являющемуся гражданином Республики Казахстан, Республики Молдова или Украины;

Она даже не по детям, а просто по тому, что она гражданка Украины, может податься на ВНЖ РФ.

После получения ВНЖ может сразу подаваться на гражданство РФ. Первое рассматривается 4 месяца, второе — 3 месяца. 

В целом, пока она ждёт то или иное рассмотрение, находиться в РФ не обязательно. Можно выезжать.