Здравствуйте.
Управлять таким автомобилем формально нельзя, даже если ОСАГО оформлен на вас.
Почему:
По закону вы обязаны зарегистрировать авто на себя в течение 10 суток после заключения договора купли‑продажи (п. 3 Правил регистрации ТС, утв. ПП РФ № 1764).
По истечении этого срока любое движение на незарегистрированном на нового собственника авто — это нарушение ч. 1 ст. 12.1 КоАП РФ (штраф 500–800 руб., при повторе — до 5000 руб. или лишение прав).
То, что назначена экспертиза, не даёт права ездить до окончания регистрации: пока в ГИБДД по базе авто числится неоформленным/с незавершённой регистрацией, эксплуатация будет считаться управлением незарегистрированным ТС.
По сути: ждёте окончания экспертизы и завершения регистрации; до этого — лучше на машине не ездить, чтобы не получить штраф/лишение.