Как мне лучше поступить продать эту долю?

Вы не обязаны платить весь долг целиком, так как долги по ЖКХ делятся соразмерно долям. По закону с вас могут требовать долг только за ту часть периода, когда вы владели долей (за вычетом времени до получения прав), и только в размере вашей \(\frac{1}{4}\) доли. Однако коммунальщики часто подают на «солидарное» взыскание. [1, 2]
Ниже дан подробный разбор вашей ситуации и план действий.

1. Откуда взялись 20 и 14 тысяч?
Это, вероятнее всего, списания судебными приставами (ФССП) в рамках исполнительного производства. Управляющая компания (УК) или поставщик услуг подали в суд на всех собственников, получили судебный приказ и передали его приставам. Приставы арестовывают счета и списывают средства в счет погашения долга. [1]
Проверить текущие производства, суммы и причину можно на Портале Госуслуг или на Официальном сайте ФССП России.

2. Разделение счетов и долгов через суд
Вы можете обратиться в суд с иском «Об определении порядка и размера участия в расходах на оплату жилого помещения и коммунальных услуг». [1]
Как это работает: суд разделит квитанции, и вам будут приходить отдельные платежки строго на \(\frac{1}{4}\) от общей суммы.
По долгам: разделение счетов не стирает старый долг. Но после вынесения решения вы сможете платить только по своему отдельному счету. По закону за старый долг каждый собственник должен отвечать по своей доле.
По брату: если ваш несовершеннолетний брат прописан и проживает в квартире, за его долю отвечает его законный представитель (мама). Вы за него платить не обязаны. [1, 2, 3]

3. Как получить выгоду и продать долю?
Вы имеете полное право продать свою \(\frac{1}{4}\) долю. [1]
Сложность: продать долю в квартире со 170-тысячным долгом постороннему лицу за адекватные деньги практически невозможно (из-за дисконта).
Первый шаг (обязательный): по закону о долевой собственности вы обязаны сначала предложить выкупить долю остальным собственникам (маме и брату) по фиксированной цене. Если они откажутся или проигнорируют предложение в течение месяца, вы можете продать долю любому третьему лицу.
Продажа через суд: продать долю принудительно через суд нельзя, но суд может обязать остальных сособственников выкупить вашу долю, если она является незначительной, а у вас нет возможности ею пользоваться.

4. Что делать с мамой, долгами и приставами?
Погашение долга и его возврат: если вы сейчас закроете весь долг целиком, чтобы снять арест со своих карт, вы автоматически получите право взыскать эти деньги с остальных собственников (в том числе с мамы) через суд в порядке регресса.
Переоформление квартиры на вас: просто так, признав в суде факт того, что мама не платит, забрать ее долю нельзя. Право собственности защищено законом. Единственный реальный вариант получить всю квартиру целиком — договориться с ней о выкупе ее доли и доли брата (например, в счет каких-либо ваших расходов на них), либо оформить договор дарения.
Иск о незаконной сдаче: если мама сдает квартиру без вашего согласия, вы вправе обратиться в налоговую инспекцию с жалобой на незаконное предпринимательство (отсутствие договора аренды и неуплата налогов с ее стороны), чтобы пресечь этот источник дохода или заставить ее выплачивать долги с этих денег. [1]

Что делать прямо сейчас:
Не закрывайте весь долг (340 тыс.) самостоятельно, пока не проконсультируетесь с юристом.
Скачайте постановление о возбуждении исполнительного производства от приставов и напишите заявление на отмену судебного приказа (на это дается 10 дней с момента получения уведомления), если сумма начислена неправомерно.
Готовьте иск в суд об определении порядка оплаты ЖКУ (разделение квитанций) — это остановит рост долга лично на вашем лицевом счете. [1, 2]

Здравствуйте. Ваша 1/4 доля действительно означает, что Вы как собственник обязаны участвовать в расходах на содержание квартиры и коммунальные платежи, даже если фактически там не живете, но это не значит, что с Вас должны взыскивать весь долг без разбора. Обычно задолженность между собственниками распределяется соразмерно долям, а если управляющая компания взыскивает солидарно, потом можно требовать с остальных собственников их часть расходов. Разделение лицевых счетов или определение порядка оплаты через суд Вам как раз нужно, чтобы в дальнейшем начисления шли отдельно по Вашей доле и чтобы мать не продолжала накапливать долги за Ваш счет. Старый долг при этом сам по себе не исчезнет, но можно будет разбираться, за какой период он начислен, кто пользовался квартирой, сдавал ее, получал деньги от квартирантов и почему платежи не вносились. Продать долю Вы можете, но сначала обязаны письменно предложить ее другим сособственникам по той же цене, потому что у них есть преимущественное право покупки. Через суд заставить мать «передать» Вам ее долю только потому, что Вы закроете долг, как правило, нельзя, это возможно только по соглашению с ней, например через куплю-продажу, дарение или соглашение о компенсации. Самый разумный порядок сейчас: запросить в УК расчет долга по периодам, проверить исполнительные производства, подать заявление о разделении порядка оплаты, зафиксировать, что Вы не проживаете в квартире, и отдельно решать вопрос либо о продаже своей доли, либо о взыскании с матери части денег, если Вы оплатите больше своей доли. Если потребуется, могу помочь подготовить иск о разделении порядка оплаты, запрос в УК и оценить, как безопаснее продать долю, чтобы не остаться с чужими долгами.

Здравствуйте!

Вы не обязаны платить весь долг по коммунальным услугам, если не проживали в квартире и есть доказательства. Разделение лицевых счетов возможно, но не всегда приводит к разделению долга. После разделения счетов долг обычно делится пропорционально долям. Продать долю можно, но есть нюансы. Закрытие долга не влечёт автоматического перехода вам всей квартиры. Действовать нужно поэтапно, чтобы защитить свои права и минимизировать риски.

Правовое обоснование:

Обязанность по оплате коммунальных услуг

По ст. 30 ЖК РФ собственник обязан содержать имущество и оплачивать коммунальные услуги. Если собственников несколько, расходы делятся пропорционально долям (ст. 249 ГК РФ, ст. 39 ЖК РФ).
Если вы не проживали в квартире, но были зарегистрированы, начисления за коммунальные услуги (например, за воду, свет) могут производиться по количеству зарегистрированных лиц, если нет приборов учета (п. 56 Постановления Правительства РФ №354 от 06.05.2011).
За содержание жилья и капитальный ремонт платят все собственники, вне зависимости от проживания.
Разделение лицевых счетов

В ЖК РФ нет понятия «разделения лицевого счета», но суды признают право на выдел доли в оплате коммунальных услуг и определение порядка оплаты (п. 13 Обзора ВС РФ №3 (2017)).

После решения суда управляющая компания обязана выставлять счета раздельно, долг делится между собственниками пропорционально долям.
Ответственность за долги

Долг по коммунальным услугам обычно делится между собственниками (п. 2 ст. 249 ГК РФ).
Если долг возник до вашей регистрации или не по вашей вине, вы вправе оспорить начисления (ст. 1102 ГК РФ — неосновательное обогащение).
Исполнительное производство может быть возбуждено на каждого собственника, если долг не погашен.
Продажа доли

Собственник вправе продать свою долю (ст. 250 ГК РФ), но сначала обязан предложить её другим сособственникам (право преимущественной покупки).
Продать долю через суд можно только в исключительных случаях (например, если совместное пользование невозможно, ст. 252 ГК РФ).
Передача доли в счет долга

Если вы погасите весь долг, это не дает вам автоматического права на долю мамы. Для передачи доли требуется договор дарения, купли-продажи или соглашение об отступном (ст. 409 ГК РФ).
Возможные варианты исхода:

Разделение счетов через суд

Суд выделит вашу долю в оплате коммунальных услуг, долг будет разделен пропорционально долям. С этого момента новые долги будут начисляться отдельно.
Старый долг, скорее всего, тоже будет разделён, если вы докажете, что не пользовались квартирой.
Продажа доли

Если другие собственники откажутся от покупки, можно продать долю третьим лицам, но доля в коммунальной квартире продается сложно и недорого.
Если сособственники не согласятся, можно обратиться в суд с требованием о выделе доли в натуре, но это практически невозможно для квартиры.

Погашение долга и передача доли

Можно заключить соглашение с мамой: вы гасите долг, а она передает вам свою долю (купля-продажа, дарение, отступное).
Без такого соглашения долг не превращается в право собственности.
Пошаговый алгоритм действий:

Соберите документы:

Свидетельства о праве собственности.
Выписку из ЕГРН.
Справку о составе семьи (кто был зарегистрирован и когда).
Справки из управляющей компании о задолженности и начислениях.
Доказательства переводов денег маме (квитанции, выписки).
Подайте в суд:

Иск о разделе оплаты коммунальных услуг и определении порядка пользования.
Приложите доказательства, что не проживали и не пользовались квартирой.
Параллельно:

Письменно уведомите сособственников о намерении продать долю (если решите продавать).
Получите письменные отказы или дождитесь истечения месяца (ст. 250 ГК РФ).
При отсутствии отказа или молчании — продавайте долю третьему лицу.
Если долг взыскивают через приставов:

Подайте заявление о пересмотре начислений, если есть основания (например, не проживали).
Обратитесь в суд с требованием о перерасчёте.

Если решите выкупить долю мамы:

Заключите нотариальный договор купли-продажи или дарения.
Сроки:

Срок рассмотрения дела в суде — 1-2 месяца.
Срок на преимущественную покупку доли — 1 месяц с момента уведомления.
Сроки исполнительного производства — до полного погашения долга.
Риски и последствия бездействия:

Долг продолжит расти, приставы могут обратить взыскание на ваше имущество.
Возможен арест счетов, ограничение выезда за границу.
Продать долю с долгом сложнее и дешевле.

Если не разделить счета, будете платить за других.
 
Рекомендую:

Добейтесь разделения счетов через суд.
Погашайте только свою часть долга.
Продавайте долю только после разделения счетов и уведомления сособственников.
Не соглашайтесь гасить весь долг без письменного соглашения о передаче доли.
Если потребуется помощь с составлением иска или анализом документов — уточните детали ситуации и обратитесь к юристу.