Здравствуйте.
Если Вы являетесь матерью ребенка и указаны в свидетельстве о рождении, то Вы являетесь его законным представителем, даже если у Вас с ребенком разные фамилии.
По российскому законодательству, если несовершеннолетний гражданин РФ выезжает за границу совместно с одним из родителей, нотариальное согласие второго родителя, как правило, не требуется, если вторым родителем не подано заявление о несогласии на выезд ребенка. Это следует из ст. 20 Федерального закона № 114-ФЗ «О порядке выезда из Российской Федерации и въезда в Российскую Федерацию».
Однако в Вашем случае маршрут не из России, а из Грузии в Азербайджан. Поэтому нужно учитывать также правила пересечения границы Грузии, правила въезда в Азербайджан и требования авиакомпании. На практике при поездке ребенка с одним родителем пограничники или авиакомпания могут попросить документы, подтверждающие родство и право сопровождать ребенка.
Обязательно возьмите с собой:
свидетельство о рождении ребенка;
заграничный паспорт ребенка;
Ваш паспорт;
документы, подтверждающие изменение фамилии, если фамилии разные;
при наличии — документы об усыновлении или иные документы, подтверждающие сведения о родителях.
Если отец указан как законный родитель и есть возможность оформить нотариальное согласие, лучше его оформить заранее, чтобы исключить риск отказа в посадке или вопросов на границе. Юридически это не всегда обязательно, но практически для международного маршрута с малолетним ребенком это снижает риск.
Поэтому кратко: как мать, указанная в свидетельстве о рождении, Вы можете сопровождать ребенка, но перед поездкой обязательно уточните требования авиакомпании и пограничных органов по маршруту Грузия — Азербайджан. При разных фамилиях свидетельство о рождении и документы о смене фамилии нужно иметь при себе обязательно.
Если консультация была для Вас полезной, буду признателен за оценку моего ответа.