Как заключить новый договор найма на нас троих?

Здравствуйте, Екатерина! В соответствии со статьей 69 ЖК РФ, члены семьи нанимателя имеют равные с ним права и обязанности. Дееспособные члены семьи несут солидарную ответственность по обязательствам, вытекающим из договора. То обстоятельство, что ваша мама выписалась, не лишает вас права пользования помещением.
Согласно части 2 статьи 82 ЖК РФ, любой дееспособный член семьи нанимателя с согласия остальных членов своей семьи и наймодателя (муниципалитета) вправе требовать признания себя нанимателем по ранее заключенному договору социального найма вместо первоначального нанимателя.
Согласно части 3 статьи 83 ЖК РФ, в случае выезда нанимателя и членов его семьи в другое место жительства договор социального найма жилого помещения считается расторгнутым со дня выезда только в отношении выехавших лиц. Для оставшихся членов семьи договор продолжает действовать на прежних условиях.

Поскольку закон не предполагает автоматического изменения договора, вам необходимо инициировать процедуру признания одного из вас новым нанимателем. Вам втроем (вы, сестра и отчим) необходимо договориться, кто именно будет указан в качестве нанимателя в преамбуле договора. Юридически это не дает преимуществ, так как согласно ст. 69 ЖК РФ права у всех равны, но в договоре должно быть указано одно лицо. Остальные будут вписаны как члены семьи нанимателя. Вы подаете заявление о внесении изменений в договор социального найма в связи с выбытием прежнего нанимателя в уполномоченный орган (обычно это Департамент городского имущества, Комитет по управлению муниципальным имуществом или МФЦ) к заявлению прилагаете:

Паспорта всех дееспособных членов семьи.
Оригинал (или копия) старого договора социального найма, где нанимателем была мама.
Выписка из домовой книги или единый жилищный документ (подтверждающий, что мама выписалась, а вы трое зарегистрированы).
Справка об отсутствии задолженности по оплате ЖКУ (в силу ст. 153 ЖК РФ обязанность по оплате лежит на нанимателях и членах их семей).
Письменное согласие всех членов семьи на назначение нового нанимателя.