Здравствуйте. Кратко: нет, увольняться не нужно, это не решит проблему, а только ухудшит ваше положение. Отсутствие вас в базе данных — техническая ошибка, которую можно исправить.
Вот почему ваше увольнение — плохая идея. В законе нет такого понятия, как «продление миграционной карты». Срок пребывания вам продлевает не она, а трудовой договор (или патент). Если вы уволитесь, то потеряете законное основание находиться в России, и вам придется либо срочно искать новую работу за 30 дней, либо выезжать из страны.
Чтобы решить проблему, действуйте так. Обратитесь к вашему работодателю и попросите его подать уведомление о вашем трудоустройстве, если он этого еще не сделал. Параллельно подайте заявление в МВД, чтобы вас проверили по другим идентификаторам, помимо фамилии. Ошибка могла возникнуть при передаче данных. Ваша главная задача — доказать, что ваш работодатель официально уведомил МВД о вашем трудоустройстве.
Если Вам необходима дополнительная консультация либо помощь в составлении письменных документов, можете обратиться в мой чат — pravoved.ru/lawyer/4449526/