Какой формы нуен договор и куда его она должна отнести?

Для гражданки Киргизии, которая хочет законно жить и работать у вас в РФ домработницей, нужны два блока:

документы самой гражданки,
правильный договор и регистрация в миграционных органах как работодателю‑физлицу.
Ниже — кратко и по делу.

 
Какие документы нужны гражданке Киргизии
Граждане Киргизии при въезде и устройстве на работу обычно предъявляют:

паспорт гражданина Киргизии;
миграционную карту с отметкой о въезде;
регистрацию по месту пребывания (у вас или по ее адресу проживания);
полис ОМС или договор ДМС, действующий на территории РФ;
патент (если она въезжает в безвизовом порядке, как правило, для работы в РФ у физического лица гражданам Киргизии нужен патент на работу);
при необходимости — документы о медицинском освидетельствовании и отсутствии запрета на работу.
Если у нее уже есть РВП или ВНЖ, вместо патента основанием для работы будет само РВП/ВНЖ, а патент уже не требуется.

 
Какой договор нужен и какая форма
Договор с домработницей обычно оформляется как трудовой договор (ТК РФ) или как гражданско‑правовой договор (ГПД) на оказание услуг, в зависимости от характера работы и желаемого режима.

Трудовой договор:

больше «трудовая» защита, больше ваших обязанностей (НДФЛ, взносы, отчеты);
формально подходит, если она работает у вас регулярно по графику.
Договор ГПХ (на оказание услуг):

оформляется как «договор возмездного оказания услуг» или «договор подряда»;
фокус не на «должности», а на результате услуг (уборка, глажка и т.п.);
часто практикуют для работы домработницы у частного лица.
В любом случае договор:

желательно составить в письменной форме;
указать паспортные данные, срок, круг обязанностей, график, сумму оплаты, порядок расчета;
сделать минимум 2 экземпляра — по одному каждой стороне.
 
Куда и что нужно подавать
Ответственность за регистрацию в миграционных органах лежит на вас как работодателе‑физлице.

Что:
Вы обязаны подать уведомление о заключении договора с иностранным гражданином в территориальный орган ГУВМ МВД (ранее УФМС) по месту своего жительства.
Сроки — в течение 3 рабочих дней с даты заключения договора.
Как подать:

через МФЦ («Мои документы»);
лично в подразделение ГУВМ МВД;
иногда — через портал Госуслуги (если предусмотрена электронная форма).
Сама гражданка Киргизии не обязана куда‑то «относить» договор; это ваша обязанность как работодателя.