И сколько соток должны выдать?

Азамат!

На федеральном уровне установлены только общие правила предоставления земельного участка бесплатно, в том числе и семьям, в которых 3 и более детей, в статье 39.5 Земельного Кодекса РФ сказано так о подобных случаях предоставления земли бесплатно:

6) земельного участка гражданам, имеющим трех и более детей, в случае и в порядке, которые установлены органами государственной власти субъектов Российской Федерации. Органами государственной власти субъектов Российской Федерации может быть предусмотрено требование о том, что такие граждане должны состоять на учете в качестве нуждающихся в жилых помещениях или у таких граждан имеются основания для постановки их на данный учет, а также установлена возможность предоставления таким гражданам с их согласия иных мер социальной поддержки по обеспечению жилыми помещениями взамен предоставления им земельного участка в собственность бесплатно;

Это означает, что конкретные условия предоставления земельного участка многодетной семье определяются решениями органа власти региона вашего проживания — власти в регионах сами решают какого размера участки и на каких именно условиях могут быть предоставлены многодетным семьям. Надо решать вопросы по месту вашего проживания, власти сами решают — где и какие участки можно выделять таким семьям.

Более точная информация может быть предоставлена, зная где именно вы живёте.

Здравствуйте, Азамат. 

Уточните в каком регионе Вы проживаете с семьёй?

Согласно статьи 39.5 Земельного кодекса РФ условия предоставления земельных участков многодетной семье устанавливаются регионами.

Здравствуйте.

По Республике Мордовия у многодетной семьи есть право на однократное бесплатное получение участка по выбору для одной из целей, в том числе для ведения личного подсобного хозяйства (ЛПХ). Для этого на дату подачи заявления нужно соответствовать общим условиям закона: гражданство РФ у родителя и совместно проживающих детей, регистрация родителя в Республике Мордовии не менее 1 года, регистрация в Республике Мордовии не менее трех совместно проживающих детей. Официальные разъяснения республики отдельно подтверждают, что участок многодетным может предоставляться именно для ЛПХ.

Теперь по вашей ситуации с уже имеющимся домом и участком в черте города.
Ключевой момент здесь не сам факт, что у вас есть дом с участком, а какой именно у этого участка вид разрешенного использования и какова его площадь. Закон Мордовии говорит, что участки для ЛПХ, садоводства, огородничества, животноводства предоставляются многодетным, если у семьи отсутствуют такие земельные участки, либо если имеющиеся такие участки имеют площадь меньше минимального размера, установленного законом. Это означает следующее:

если ваш нынешний участок под домом имеет ВРИ ИЖС или иной вид, но не ЛПХ, то сам по себе этот участок не лишает вас права просить бесплатный участок именно для ЛПХ;
если же ваш нынешний участок уже имеет ВРИ ЛПХ, тогда право зависит от площади: если она меньше минимальной, можно претендовать; если не меньше — обычно оснований для бесплатного предоставления нового участка для ЛПХ уже нет.
Что касается вопроса «ЛПХ с правом на строительство». Федеральный закон различает два вида ЛПХ:

приусадебный участок — это ЛПХ в границах населенного пункта; на нем можно возводить жилой дом и иные постройки;
полевой участок — это ЛПХ за границами населенного пункта; на нем нельзя возводить здания и строения, он предназначен только для сельхозпроизводства.
Поэтому, если вам нужен участок «с правом на строительство», речь должна идти именно о приусадебном ЛПХ в границах населенного пункта.

По размеру участка в Мордовии закон устанавливает не фиксированную площадь, а диапазон. То есть вам не «обязаны выдать ровно столько-то соток», а могут предоставить участок в пределах установленного минимума и максимума, в зависимости от наличия сформированных участков и очередности. Для многодетных семей в Мордовии размеры такие:

ЛПХ в границах городских населенных пунктов — от 0,05 до 0,15 га, то есть от 5 до 15 соток;
ЛПХ в границах сельских населенных пунктов — от 0,10 до 0,30 га, то есть от 10 до 30 соток;
ЛПХ за границами населенных пунктов — от 0,10 до 1,0 га, то есть от 10 до 100 соток.
Соответственно, для Саранска как городского населенного пункта, если речь идет о приусадебном ЛПХ, диапазон будет от 5 до 15 соток. А если говорить о полевом ЛПХ, то по закону Мордовии многодетным могут предоставить участок от 10 до 100 соток, но без права строительства жилого дома.

Итог по вашему вопросу такой:

Да, претендовать на бесплатный участок для ЛПХ вы можете, если соблюдаете условия для многодетной семьи и у вас нет участка именно для ЛПХ, либо такой участок есть, но его площадь меньше минимальной. Наличие дома и участка само по себе не всегда лишает этого права — решающим является вид разрешенного использования имеющейся земли.
Если нужен участок ЛПХ с правом строительства, то это только ЛПХ в границах населенного пункта. Для Саранска размер — 5–15 соток.
Если речь о полевом ЛПХ, то размер для многодетных в Мордовии — 10–100 соток, но строить жилой дом там нельзя.
Практически вам сейчас нужно первым делом посмотреть в выписке ЕГРН на ваш текущий участок:

вид разрешенного использования;
площадь участка.
Именно эти два параметра определят, есть ли у вас право на бесплатный участок под ЛПХ.