Как правильно поступить в подобной ситуации?

Добрый день, Александр.

Краткий вывод: у вас есть право требовать от подрядчика возврата оплаченных средств, но отсутствие подписанного договора осложняет доказательство условий работы и обязанностей сторон. Решение — действовать письменно и документально, формализуя требования через досудебную претензию.

 
Правовая логика
Основание взыскания средств:
Согласно ст. 309, 310, 782 ГК РФ (ГАРАНТ), обязательства считаются исполненными, если оплата произведена и услуга фактически оказана, даже при отсутствии подписанного договора, если есть доказательства (переписка, счета, фактическое выполнение работ).

Ст. 309 ГК РФ: обязательство должно исполняться надлежащим образом.
Ст. 310 ГК РФ: сторона может требовать исполнения, даже если договор не подписан, если сторона фактически приняла работу или произвела оплату.
Ст. 782 ГК РФ: подрядчик обязан выполнить работу в соответствии с договором подряда.
Ваша ситуация подпадает под неисполнение подрядчиком обязательств по качеству: просрочка и недочеты.
Доказывание факта обязательств:

Оплаченные счета и переписка с подрядчиком являются доказательствами, что обязательство существовало и деньги были переведены.
Отсутствие подписи договора не лишает вас права требовать возврата средств, но делает необходимым письменное оформление требований и фиксацию доказательств.
Форма требований:

Письмо с требованием вернуть средства — допустимо, но его правовой вес меньше.
Досудебная претензия — предпочтительный вариант, чтобы в случае обращения в суд соблюсти ст. 131, 132 ГПК РФ и требования к досудебному урегулированию. Претензия должна содержать:

основание (оплаченные услуги, недочеты и просрочка);
сумму к возврату;
срок исполнения (обычно 10–30 дней).
Риски и последствия:

Подрядчик может спорить о сумме возврата или о факте наличия обязательств, ссылаясь на отсутствие подписанного договора.
Если сумма значительная или подрядчик откажется добровольно — досудебная претензия создаёт документальную базу для обращения в суд.
 
Практические шаги
Составить досудебную претензию, приложить:

счета, подтверждающие оплату;
переписку/эл. письма;
фото/акт выявленных недочетов.
Отправить претензию заказным письмом с уведомлением или электронным письмом с подтверждением.
Если подрядчик не вернет средства в установленный срок — обращаться в суд с иском о взыскании суммы, уплаченной за некачественную услугу.
 
Для более точного расчета суммы возврата и минимизации рисков полезно оценить:

Полная сумма оплаты подрядчику.
Доказательства недочетов и переписки.
Возможные возражения подрядчика.
 
Вывод: правильно действовать через досудебную претензию с приложением доказательств, письмо как вариант менее защищён. При отказе — иск в суд.

Если хотите, могу подготовить шаблон досудебной претензии с учетом вашей ситуации, чтобы его можно было сразу направить подрядчику.

Ситуация неприятная, но решаемая. Отсутствие подписанного договора не лишает вас права требовать возврата денег. Оплаченные счета при фактическом невыполнении качественных работ дают вам право требовать возврата неосновательного обогащения по ст. 1102 ГК РФ, а также убытков, причиненных просрочкой и недоделками (ст. 15, 393, 708, 723 ГК РФ). Алгоритм действий: досудебная претензия с требованием вернуть оплаченные средства и возместить убытки, затем — иск в суд.
Если моя консультация оказалась Вам полезной, можете поддержать меня по ссылке: pravoved.ru/lawyer/4310577/
Если остались вопросы или появились новые — пишите в личные сообщения для более развернутой платной консультации и составления НЕОБХОДИМЫХ ДОКУМЕНТОВ!
С уважением, Дмитрий Филимонов!