Нет, проживать неограниченное время в Москве без регистрации по месту пребывания незаконно.
Согласно ст. 5 Закона РФ от 25.06.1993 № 5242-I, регистрация по месту пребывания должна быть оформлена в срок не более 90 дней с момента прибытия. За нарушение в Москве предусмотрен штраф от 3000 до 5000 рублей для проживающих и от 5000 до 7000 рублей для владельца жилья. Проживание в общежитии при монастыре также подчиняется общим правилам регистрации.
Оформите временную регистрацию через 90 дней проживания, иначе вы и монастырь (как предоставляющая сторона) рискуете получить административные санкции.