Скажите пожалуйста, имеет ли право заведующая детским садом требовать, чтобы воспитатель открыл чат с родителями в мессенджере Макс?

Нет, не имеет права принуждать к использованию конкретного мессенджера, особенно если большинство родителей против.

Трудовое законодательство обязывает работника выполнять трудовую функцию, а не использовать определенные программы. Такой приказ можно расценить как нарушение трудовых прав.

Рациональное решение — выбрать мессенджер, который устраивает всех участников общения (родителей и педагога). Настаивайте на коллективном обсуждении и выборе нейтральной, удобной для большинства платформы.