Как можно решить данный вопрос и доказать что я закрывала ИП и не вела деятельность?

Добрый день! НУ надо понять про заявление. Вы его написали, потом куда отдавали, направляли? В общем и целом, если нет доказательств того, что вы такое заявление куда-то подавали, то доказать что вы его на самом деле писали и подавали будет невозможно. Да, его могли и потерять запросто, для этого и выдается второй экземпляр с отметкой.

Кроме того, даже если, предположим, вы его писали и подавали. в нем могла быть ошибка и у вас мог быть отказ, поскольку подобного рода заявления с ошибками не считаются поданными. Потом, оплачивали ли вы госпошлину или нет, могли госпошлину не оплатить. 

А что касается задолженности, то это скорее всего обязательные страховые взносы, которые уплачиваются ИП один раз в год, вне зависимости от того велась деятельность или нет.