Скажите, пожалуйста, не могут ли меня отправить на военные сборы, если я - доктор наук?

Первоочередным тут будет факт включения в моб.списки. Если вы не включены в мобилизационный резерв и не имеете воинской специальности, то вас не направят на сборы — военкомат не вправе направлять на сборы лиц, не состоящих в запасе по соответствующей специальности. 

Указы Президента и акты по мобилизационной готовности (в т.ч. принятые после 2022 г., в т.ч. о частичной мобилизации) изменили практику включения граждан в мобрезерв — ключевым является именно факт включения в мобилизационные списки.

Если получите повестку на сборы — требуйте письменного распоряжения с указанием правового основания. При незаконном направлении можно обжаловать решение в судебном порядке  — в суде опираются на 53‑ФЗ и Расписание болезней; судебная практика по аналогичным делам подтверждает, что отсутствие воинской специальности и медицинские противопоказания являются законными основаниями для признания направления на сборы неправомерным.
 Если хотите — пришлите копии: военного билета (страницы с категорией годности), копию диплома и медицинские выписки — и я подготовлю текст обращения в военкомат или образец жалобы в суд.

Данная повестка вероятнее всего — актуализация сведений военкоматом 

У Вас по повестке причина вызова — уточнение документов воинского учета.

Соответственно, можете взять с собой медицинские документы на случай возможного призыва на военные сборы.

Документы о Вашем образовании также возьмите с собой для обновления свеедний воинского учета и возможного изменения Вам ВУС.

1) Для гарантированного освобождения от сборов нужно быть штатным (т. е. трудовая книжка должна лежать в образовательном учреждении) педагогическим работником даже на не полную ставку?

 Вы должны быть именно педагогическим работником образовательной организации.

Тут нужно исходить из требований ст. 2 ФЗ Об образовании в РФ", которая под педагогическим работником понимает

  — физическое лицо, которое состоит в трудовых, служебных отношениях с организацией, осуществляющей образовательную деятельность, и выполняет обязанности по обучению, воспитанию обучающихся и (или) организации образовательной деятельности;

Таким образом, работать Вы должны на условиях трудового договора. И для целей освобождения от сборов договор ГПХ во внимание приниматься не будет.

При этом Вы можете работать по трудовому договору и на условиях совместительства. На этот счет нет никаких оговорок и ограничений.

К категории педагогического работника относятся только преподавателя и учителя? Или же иные сотрудники образовательного учреждения, например, эксперты, методисты и пр.?

 Должности педагогических работников определяются на основании Приказа Минздравсоцразвития РФ от 26.08.2010 N 761н «Об утверждении Единого квалификационного справочника должностей руководителей, специалистов и служащих, раздел „Квалификационные характеристики должностей работников образования“ куда в их состав также включены  такие должности как 

    Учитель
    Преподаватель
    Педагог-организатор
    Социальный педагог
    Учитель-дефектолог, учитель-логопед (логопед)
    Педагог-психолог
    Воспитатель (включая старшего)
    Тьютор
    Педагог-библиотекарь
    Старший вожатый
    Педагог дополнительного образования (включая старшего)
    Музыкальный руководитель
    Концертмейстер
    Руководитель физического воспитания
    Инструктор по физической культуре
    Методист (включая старшего)
    Инструктор-методист (включая старшего)
    Инструктор по труду
    Преподаватель-организатор основ безопасности жизнедеятельности
    Тренер-преподаватель (включая старшего)
    Мастер производственного обучения

И дополнительно можно использовать Постановление Правительства РФ от 21.02.2022 N 225 «Об утверждении номенклатуры должностей педагогических работников организаций, осуществляющих образовательную деятельность, должностей руководителей образовательных организаций»

которым также определен перечень должностей педагогических работников организаций, осуществляющих образовательную деятельность.

2) Вторым способом получения освобождения от сборов является состояние здоровья. На данный момент у меня имеется хроническое заболевание: хронический рефлюкс-эзофагит на стадии ремиссии и скользящая грыжа пищевода 1 ст. Врач сможет дать заключение по моим диагнозам на следующей неделе. Правильно ли я понимаю, что такие диагнозы не являются надежным отводом от отправки на сборы?

 Нет.

Указанные диагнозы Вам не гарантируют того, что Вы не будете призваны на военные сборы.

Освободить Вас от их участия можно лишь при условии, что на момент прохождения освидетельствования по направлению военкомата у Вас имеет место обострение одного из указанных хронических заболеваний.

Нахождение их в стадии ремиссии — само по себе не дает Вам права на освобождение от военных сборов.

Только при обострении могут поставить категорию годности Г — что является основанием для освобождения от военных сборов по состоянию здоровья.