Можно ли требовать бесплатного исправления некачественной услуги в салоне красоты?

Да, можно обратиться к другому мастеру для исправления некачественной услуги, так как согласно закону «О защите прав потребителей» клиент имеет право требовать устранения недостатков оказанной услуги или соответствующего уменьшения её цены. 
Сначала рекомендуется решить проблему на месте, объяснив мастеру и администрации салона, что результат не соответствует ожиданиям. Часто конфликт решается таким образом.
Если салон игнорирует устные обращения, можно составить досудебную претензию. В ней нужно подробно описать услугу, указать требования и приложить доказательства (фото, чеки, договор). 
Если салон не ответил на претензию, можно подать жалобу в Роспотребнадзор. Для этого нужно сообщить о нарушении закона и приложить копии претензии и ответа, если он был. 
В крайнем случае можно обратиться в суд, подав исковое заявление с подробным описанием ситуации и приложением документации (чек, договор на оказание услуг, фотографии, на которых видны последствия некачественно оказанной услуги и так далее).