Стоит ли писать заявление в полицию?

В вашем случае всё указывает на признаки мошенничества по ст. 159 УК РФ: ввод в заблуждение, получение денег под предлогом оказания услуги, отсутствие намерений выполнить работу.

 
1. Что нужно сделать прямо сейчас
Соберите все доказательства:

скриншоты сайта, переписок, объявлений;
реквизиты карты, на которую переводили деньги (чек перевода, выписка банка);
номер телефона мастера;
описание разговора, обещаний и суммы оплаты;
фото/видео состояния посудомойки после «ремонта».
Зафиксируйте сайт и его содержимое:

воспользуйтесь сервисами веб-архива (например, web.archive.org) или сохраните страницы в PDF;
сделайте скриншоты с указанием адреса страницы (URL).
Направьте претензию на контактные данные с сайта (даже если не ответят) — это покажет, что вы пытались урегулировать вопрос мирно.
 
2. Заявление в полицию
Да, обязательно пишите заявление — чем быстрее, тем выше шанс вернуть деньги, пока их не вывели.
В заявлении укажите:

дату, время и обстоятельства заказа ремонта;
действия мастера и сумму перевода;
данные карты получателя и телефона;
то, что работы не выполнены, запчасть не вернули.
Подать можно:

лично в отдел полиции;
через портал Госуслуги (раздел «Обращения в МВД»);
через дежурную часть (по месту жительства или предполагаемого места преступления).
В заявлении попросите:

возбудить уголовное дело по ст. 159 УК РФ;
провести проверку, запросить данные получателя перевода в банке;
принять меры к возврату денежных средств.
 
3. Дополнительно
Сообщите о сайте в Роскомнадзор и Роспотребнадзор — есть шанс, что ресурс заблокируют.
Если сайт использует чужие реквизиты ИП/ООО — это ещё одно нарушение, о нём также нужно указать в жалобах.
Параллельно можно направить заявление в банк с описанием ситуации — иногда удаётся приостановить движение средств или узнать Ф. И. О. получателя.
 
4. Наказание мошенников
Если полиция установит личность, возбудят дело, то наказание по ч. 2 ст. 159 УК РФ (мошенничество, совершённое с причинением значительного ущерба) — штраф до 300 000 ₽ или лишение свободы до 5 лет.

 
Совет на будущее:
Перед оплатой проверяйте ИП/ООО на сайте ФНС, смотрите отзывы, не переводите деньги на личные карты неизвестных лиц без договора и чека.

 
Если хотите, я могу подготовить для вас готовый текст заявления в полицию по вашей ситуации, чтобы осталось только подставить дату и Ф. И. О. — так шансы на возбуждение дела будут выше. Хотите, сделаю?

Здравствуйте!
Любой человек, который считает, что в отношении него совершены противоправные действия, либо он знает информацию о совершаемых преступлениях, имеет право обратиться в полицию. 
Согласно ст. ст. 141 и 143 УПК РФ заявление составляется в произвольной форме и может быть подано устно (по телефону),  или письменно. Дежурный обязан его зарегистрировать. Так же можно подать заявление онлайн через сайт МВД РФ.
В полиции обязаны будут провести проверку и принять по ее результатам решение: возбудить уголовное дело, либо  отказать в возбуждении уголовного дела или о передаче по подследственности в другой правоохранительный орган, в мировой суд или материал проверки может быть отправлен по подследственности.  
Так же может быть приятно решение о привлечении виновных к административной ответственности. 
Обратитесь ко мне в чат, для подробной приватной расширенной консультации на платной основе. Надеюсь, мой ответ поможет Вам лучше разобраться в сложившейся ситуации.
Если я Вам уже помог, отблагодарить  можно здесь pravoved.ru/lawyer/1491047/
это займет совсем немного времени, но прости копирует меня и далее отвечать на бесплатные вопросы.