Уважаемый Александр!
Есть регистрация по месту жительства — она безвременная, постоянная, ставят штамп в паспорте. Есть регистрация по месту пребывания — это временная. Можно сделать на месяц, можно на год, можно на 5 лет — как захочет собственник квартиры. Штамп в паспорте не ставится, дается отдельное свидетельство о регистрации.
Под Ваши условия больше подходит регистрация по месту пребывания на 2 года. По истечении 2 лет регистрация прекращается автоматически.
Если же будете делать регистрацию по месту жительства (постоянную), то при изменении места жительства Вам не надо заниматься отдельно выпиской. При постановке на регистрационный учет по новому адресу Вы и ребенок будете сняты с рег.учета по старому адресу автоматически — ФМС это делает само.